La ecuación de Joukowsky

Muchos ingenieros creen que pueden hacer análisis en estado estacionario en una hoja de cálculo. Sin embargo, si quieren analizar transitorios (por ejemplo, el aumento de presión por el cierre repentino de una válvula o por una ruptura) es imprescindible un simulador. En realidad, hay una forma fácil de hacer ese tipo de análisis transitorio a mano, que funciona tanto para ducto de gas como de líquidos y que es bastante precisa en muchas situaciones. Siempre es bueno contar con un cálculo hecho a papel y lápiz para comprobar la validez de un programa informático complejo, incluso si se trata de Atmos SIM.

La ecuación de Joukowsky nos permite realizar cálculos de sobrepresión a mano. Lleva el nombre de Nikolay Zhukovsky, padre fundador de la aerodinámica y también de la hidrodinámica. En esta entrada del blog, me quedaré con la escritura más común de la ecuación, "Joukowsky". Además de esta ecuación, Zhukovsky fue el primero en explicar físicamente la sustentación de un ala de avión y produjo muchos otros resultados importantes en ingeniería y matemáticas. No intentaré derivar aquí la ecuación de Joukowksy. Sin embargo, se deduce de la segunda ley de Newton, fuerza = masa por aceleración, combinada con el hecho físico de que ninguna perturbación puede viajar a través de un fluido más rápido que la velocidad de las ondas (la velocidad de las ondas es de aproximadamente 300 m/s en los gasoductos y de unos 1-1,5 km/s en los oleoductos). 

La ecuación de Joukowsky es ∆P = - ρ c ∆V. Donde ∆P es la magnitud del choque de presión causado por el cambio en la velocidad y es lo que intentamos calcular: ΔV es el cambio de velocidad causado por la sobrepresión: ρ es la densidad del fluido y c es la velocidad de la onda. (Para que no haya factores de conversión de unidades, estas cantidades deben estar en un conjunto coherente de unidades, como el SI: presión en pascales, densidad en kg/m3, velocidad de las ondas y cambio de velocidad en m/s). 

La ecuación de Joukowsky puede aplicarse en ambos sentidos: se puede calcular el aumento de presión que acompaña a un determinado cambio de velocidad: o el cambio de velocidad que cabe esperar de un cambio brusco de presión.

Por ejemplo, supongamos que tenemos un ducto de gasolina que fluye a 2 m/s y que cierro una válvula rápidamente: ¿qué aumento de presión puedo esperar? Consultando mis libros de referencia (o Google), veo que la densidad de la gasolina es de unos 800 kg/m3 y la velocidad del sonido es de unos 1380 m/s. La gasolina se detiene repentinamente desde el cierre de la válvula, por lo que ΔV es -2 m/s. Entonces el cambio de presión en el extremo de aguas arriba es ΔP = - 1380 m/s * 800 kg/m3 * -2 m/s = 22 bar (= 320 psi) y en el sector de aguas abajo es -22 bar. Si la válvula se cierra realmente de forma instantánea, entonces un aumento de presión de 22 bar se dispara hacia arriba en en el ducto y un aumento negativo se dispara hacia abajo en el ducto, ambos a 1380 m/s. Este es un resultado perfectamente válido del modelo transitorio: esperaríamos que la SIM diera una respuesta similar, y de hecho lo hace, como vemos a continuación:

Si se quiere una solución extremadamente precisa o una solución cuando el aumento de presión ha viajado más de 5 o 10 km, entonces hay varias advertencias:

  1. Al final, la fricción hará que la altura de la sobrepresión disminuya: el ancho de la subida de presión (es decir, el tiempo que tarda la subida en pasar por un punto) se mantendrá en el tiempo que haya tardado en cerrarse la válvula. Así, en nuestro ejemplo de la gasolina, si la válvula se cerró en 1 segundo, la presión subirá 22 bares a lo largo de 1380 m y esa subida pasará por un punto del ducto -incluso un punto a muchos kilómetros de distancia- en 1 segundo.
  2. En un gasoducto con un cambio de presión lo suficientemente grande como para que ΔV se acerque a c - lo que significa que la velocidad del gas se aproxima al flujo estrangulado, como ocurre en una ruptura del ducto - los procesos no lineales adquieren importancia y el resultado de Joukowsky va a ser menos preciso. Esto se debe a que el frente de onda de presión real estará más extendido.
  3. Para que este resultado sea exacto, hay que utilizar la velocidad de onda c correcta, lo que significa que hay que ajustarla en función de la dilatación del ducto si se trata de un ducto de gran diámetro, de una tubería de paredes especialmente finas o de una tubería de plástico (la corrección correspondiente puede encontrarse en Internet o en cualquier manual de ingeniería).
  4. La velocidad de las ondas en un sistema mantenido a temperatura constante (por ejemplo, una tubería submarina sin aislamiento) será diferente a la de un ducto con un buen aislamiento.
  5. Eventualmente, comenzará a ver las ondas rebotadas en otras válvula cerradas en el sistema o cualquier otra sección mantenida a presión constante como un tanque o depósito de gas.
  6. En un sistema líquido, un pico de presión negativa puede hacer caer la presión por debajo del vapor: en ese caso, se desarrollará un flujo con bolsa de vapor (slack) y la dinámica puede complicarse mucho.

Atmos SIM maneja automáticamente todas estas situaciones más que complejas. Pero para una estimación rápida, la ecuación de Joukowsky sigue siendo muy útil.

Lea los blogs anteriores de Jason acerca del manejo de datos incorrectos. También puede leer más documentos técnicos y blogs:

Por: Jason Modisette
Fecha: 01 julio 2021